Was soll Mathematik mit neuen Materialien zu tun haben?

Denken Sie an Laminatstrukturen oder Faserverbundstrukturen.

Wir meinen eine ganze Menge und das möchten wir Ihnen in den nächsten 30-40 Minuten etwas deutlicher machen.

Zum Start, als Einstieg in das Thema, nehmen Sie mal so einen Bodenträger bei einem Flieger,

was soll der? Der soll natürlich die von oben kommende Last tragen,

das heißt also Passagiere und hier die Bestuhlung, der soll aber gleichzeitig dabei natürlich nicht zu schwer sein.

Aus dem Grunde findet man bei solchen Komponenten im Flugzeugbau oder im Autobau häufig solche Leerstellen,

die das nächste Bild also mal schematisch darstellt, also diese sechs Löcher hier.

Links und rechts haben Sie die Auflage und der Einfachheit halber soll also die Kraft mal von oben kommen.

Aber natürlich fragt sich jeder, wieso gerade sechs Löcher? Sind nicht vier oder zehn besser?

Und wieso kreisrund und alle gleich groß?

Und man wird also versuchen, damit zu experimentieren und versuchen dann eine Antwort zu finden, aber das führt nicht weit.

Und wenn man das präziser machen will, dann landet man ganz schnell bei der Mathematik.

Man wird also zum Beispiel fragen, gegeben diese sechs Löcher, wie soll man denn mathematisch, was ist der optimale Rand dieser sechs Löcher?

Und einen Schritt in diese Richtung, ein Stück der Antwort zeigt Ihnen das nächste Bild, das besteht wieder aus sechs Löchern,

und zwar gleiche Materialmenge wie vorher, aber man kann zeigen, dass diese zweite Struktur unter der Last wesentlich weniger nachgibt.

Und das kann man wie gesagt mathematisch ganz präzise fassen und man kann eben auch zeigen, was hier das Wörtchen besser heißt.

Nur beantwortet das natürlich nicht unsere Frage.

Denn wir sind ja der Meinung, 50 Löcher sind vielleicht doch noch viel besser, sind noch sehr effektiver zum Tragen der Last.

Und wenn man das ganz konsequent weiterfragt und denkt, dann kommt man doch zu folgender Frage, wir haben ein vorgegebenes Material,

und der einfach hat halber stellen sich mal Stahl vor, ein Material, das mathematisch charakterisiert ist durch seine Elastizität, e haben wir das hier genannt.

Und mit diesem Material, das soll also gerade reichen, um hier diesen Quadrat zur Hälfte zu füllen.

Und die Frage ist natürlich, wo soll man dieses Material investieren? Und wo lohnt sich das nicht so sehr?

Und Zielsetzung ist natürlich, dass der Körper unter der Last f möglichst wenig nachgibt.

Und das Bild zeigt also schon mal so eine mögliche Antwort, wie man das machen könnte, natürlich hier der einfach hat halber mal zweidimensional gesehen, damit man das besser zeichnen kann.

Und jeder wird sagen, gut, das ist eine vernünftige Frage, und das ist natürlich auch von Faszination für jeden Designer.

Aber warum nicht mutiger? Man kann ja heute Materialien kombinieren, oder sie können zum Beispiel in so einem Werkstück von hartem zu weichen Stahl übergehen,

oder ich habe mir noch mal so ein Bildchen gezeigt, irgendwelche Faserstrukturen nehmen, die sich im Raum krümmen.

Also warum fragen wir nicht etwas mutiger, Material wie bisher in dem Punkt X an der Stelle X ja oder nein?

Aber jetzt ganz entschieden mehr, wenn nämlich Material an der Stelle X, was aus unserem Fundus ist das beste Material zum Tragen dieser Struktur?

Also wir haben diese beiden Fragen, und Sie werden sicher beipflichten, das erste ist so ein bisschen konservativ noch,

und das zweite hat sicher schon diesen Touch von Hightech, ist vielleicht auch etwas abgehoben.

Und das Erstaunliche, die eindeutige Antwort der Mathematik, die erste Frage macht im Allgemeinen gar keinen Sinn.

Weder physikalisch noch mathematisch, die hat keine Antwort.

Und die zweite Frage, die besitzt eine wohl definierte mathematische Antwort, die lässt sich auf dem Rechner darstellen,

und aus dieser Darstellung kann man also wichtige Informationen über die Produktion, über die technische Realisierung dieses Materials gewinnen.

Und das ist in Kürze auch schon, was ich erzählen will.

Sie werden sich natürlich fragen, ja, was ist denn eigentlich falsch hier an diesem ersten Ansatz?

Und dazu schlage ich also mein Gedankenexperiment vor, Sie haben also hier so einen Würfel,

und den können Sie zur Hälfte mit einem Material füllen, also E habe ich das mal genannt hier,

und das mache ich also gleichmäßig in Schichten.

Schicht Material, nicht schwarz heißt Material, und roh gleich eins soll also heißen, da packe ich Material hin.

Dann kein Material, dafür steht roh gleich Null, und wenn Ihnen das ein bisschen schwer fällt von der Vorstellung,

denken Sie sich ganz dünnes Material, ganz weiches Material, fast so etwas wie Luft und so weiter.

Okay, und jetzt gucken wir uns das mal wieder, der Einfachheit halber zweidimensional an, und machen Folgendes.

Wir verfeinern diese Struktur, diese Zerlegung.

Wir wählen diese Schichten äquidisant, aber immer schmäler, und was passiert?

Und das ahnt man ja schon, und für die Mathematiker habe ich auch das Stichwort hingeschrieben, schwache Topologie.

Diese Belegung, die also immer schneller zwischen Null und einspringt, die läuft gegen ein Halb.

Und schon ist das Unglück passiert.